La démonstration de la réciproque
Fondamental : L'énoncé du théorème
Si un triangle ABC (longueur des côtés \(a\), \(b\) et \(c\)) vérifie :
\(a^{2} = b^{2} + c^{2}\)
alors il est rectangle en A.
Démonstration
(elle est basée sur le premier cas d'égalité des triangles).
Construisons un angle droit de sommet A' et sur chaque côté respectivement les segments A'B' de longueur \(c\) et A'C' de longueur \(b\). D'après le théorème direct :
\(a'^{2} = b^{2} + c^{2}\)
Comme par hypothèse :
\(a^{2} = b^{2} + c^{2}\)
on en déduit que \(a = a'\)
ABC et A'B'C' sont des triangles égaux car ils ont leurs côtés égaux deux à deux ; leurs angles sont donc égaux.
Et ABC est un triangle rectangle.
